จะแบ่ง”เงินรางวัล”จากการแข่งขันอย่างไรดี?

หากมีเงินรางวัลอยู่จำนวนหนึ่ง เคยสงสัยไหมว่า เราควรจะแบ่งเงินก้อนนั้นให้เป็นรางวัลสำหรับกี่รางวัลดี และรางวัลต่างๆ เช่นที่หนึ่งและที่สอง ควรมีมูลค่าต่างกันเท่าไหร่ สัดส่วนดังกล่าวควรจะมาจากอะไร และมันจะส่งผลต่อการแข่งขันอย่างไรบ้าง บทความใน AER จะให้แนวทางกับเรา

……….

เมื่อปี 1902 Francis Galton ตั้งคำถามว่า “หากเรามีเงินรางวัลอยู่จำนวนหนึ่ง เอาเป็นว่า 100 ปอนด์ สำหรับให้รางวัลที่ 1 และที่ 2 โดยเงินก้อนที่ใหญ่กว่าให้คนที่ได้ที่หนึ่ง และก้อนเล็กกว่าให้คนที่ได้ที่สอง แล้วเราควรจะตั้งเงินรางวัลของที่หนึ่งและที่สองเป็นเท่าไหร่ดี? มันควรจะอยู่ที่สัดส่วนเท่าไหร่กัน?”

สิ่งที่ Galton แนะนำเอาไว้ในบทความของเขาคือควรแบ่งออกเป็นสัดส่วน 3 ต่อ 1 แต่เขาก็ไม่ได้แสดงวิธีคิดออกมาว่าทำไมเขาถึงแบ่งเช่นนั้น

ทำไมปัญหานี้ถึงเป็นเรื่องที่เราควรสนใจ ทั้งนี้ก็เพราะการแบ่งเงินรางวัลนั้น แท้จริงมันมีความได้อย่างเสียอย่าง (Trade-offs) ซ่อนอยู่ ลองนึกถึงกรณีสุดขั้วดูว่า หากเราจัดสรรเงินรางวัลให้ที่หนึ่งทั้งหมด ย่อมทำให้คนที่มีความสามารถสูงมีความพยายามเพิ่มขึ้นเพื่อให้ได้รางวัล แต่คนที่มีความสามารถกลางๆ จะไม่มีแรงจูงใจในการแข่งขันเลย (เพราะความหวังน้อยมากๆ) ขณะที่หากเราจัดสรรเงินรางวัลให้ที่หนึ่งลดลง แล้วเอาไปให้ที่สองแทน การจัดสรรเช่นนี้ย่อมลดแรงจูงใจของคนที่มีความสามารถสูงลง แต่จะไปเพิ่มความหวังและแรงจูงใจให้กับคนที่มีความสามารถกลางๆ แทน

หากผู้จัดการแข่งขันต้องการให้การแข่งขันมีความเข้มข้นที่สุดย่อมต้องจัดสรรเงินรางวัลจนกว่าผลรวมของความตั้งใจในการแข่งขันของผู้เข้าแข่งขันทุกรายสูงที่สุด

……….

Moldovanu and Sela (2001) สร้างแบบจำลองในการวิเคราะห์การจัดสรรเริ่มจาก

– การแข่งขันมีการให้รางวัลจำนวน $p$ รางวัล โดยมูลค่าของรางวัล ( $V_j$ ) ลดหลั่นกันไปตามลำดับ $V_1 \geq V_2 \geq V_3 \geq ... \geq V_p \geq 0$ และ ผลรวมของรางวัล $\Sigma_i V_i = 1$

– ผู้เข้าแข่งขันมี $K$ คน ประกอบด้วย $\{1, 2, ..., k\}$

– ผู้เข้าแข่งขันคนที่ $i$ จะแสดงความสามารถในการแข่งขัน $x_i$ โดยเขาจะมีต้นทุนการซ้อมเพื่อที่จะแสดงความสามารถในการแข่งขัน $x_i$ อยู่ที่ $c_i\gamma(x_i)$ เมื่อ $\gamma(0)=0$ และ $c_i>0$ [อย่าลืมว่า $c_i$ ที่ต่ำกว่าหมายถึงความสามารถที่สูงกว่า]

– ผู้แข่งขันที่แสดงความสามารถได้ดีที่สุดจะได้รางวัลที่ 1 และรองลงมาจะได้รางวัลที่ 2 นั่นหมายความว่า ผลได้ของผู้แข่งขันที่ได้รางวัลคือ $V_j-c_i\gamma(x_i)$ และผู้ที่ไม่ได้รางวัลคือ $-c_i\gamma(x_i)$

– แต่ละคนจะแสดงความสามารถในการแข่งขันให้ดีที่สุดตราบเท่าที่ทำให้ผลได้ของการได้รับรางวัลสูงที่สุดด้วย โดยความสามารถในการแข่งขันของผู้เข้าแข่งขันทุกคนคิดเป็น $\Sigma_i x_i$ และผู้จัดการแข่งขันที่ทำหน้าที่จัดสรรเงินรางวัลด้วยนั้น ย่อมต้องการให้การแข่งขันออกมาสนุกที่สุด ซึ่งเท่ากับว่าเขาต้อง maximize $\Sigma_i x_i$

สำหรับการพิจารณาว่าควรจะจัดสรรเงินรางวัลอย่างไร จะแยกออกเป็นสองกรณีตามลักษณะต้นทุนของผุู้เข้าแข่งขัน (Cost Function)

……….

กรณีที่หนึ่ง ต้นทุนการซ้อมเป็นเส้นตรง (Linear Cost Functions)

กำหนดให้

– ต้นทุนของผุ้เข้าแข่งขันเป็นเส้นตรง ซึ่งอาจตีความได้ว่า ความสามารถในการแข่งขันเป็นสัดส่วนเดียวกันกับความพยายามในการฝึกซ้อม เช่น $\gamma(x)=x$

– มีจำนวนผู้แข่งขัน $k \geq 3$ คน และมีจำนวนรางวัล 2 รางวัล $V_1 \geq V_2 \geq 0$

ผู้เข้าแข่งขันแต่ละคนจะแสวงหาผลได้สูงที่สุด (Maximize V_i) ภายใต้ต้นทุนของตนเอง ( $cx$ ) ซึ่งสุดท้ายแล้ว ผู้เข้าแข่งขันคนที่ i จะแสดงความสามารถในการแข่งขันออกมาที่ $b(c) = A(c)V_1 + B(c)V_2$

เมื่อ $A(c) = (k-1)\int\limits_c^1 \frac{1}{a}(1-F(a))^{k-2}F'(a)da$
และ $B(c) = (k-1)\int\limits_c^1 \frac{1}{a}(1-F(a))^{k-3}[((k-1)F(a)-1]F'(a)da$

[เนื่องจากในบทความมีการพิสูจน์ที่มาของสมการแล้ว ผู้ที่สนใจในรายละเอียดสามารถดูได้จากหน้า 25-28 ของบทความ]

“(ที่มาของภาพ)”

สำหรับผู้ออกแบบการแข่งขันที่ต้องการให้ผู้เข้าแข่งขันแสดงความสามารถมากที่สุดนั้น เนื่องจากรางวัลที่สองต้องน้อยกว่ารางวัลที่หนึ่ง ดังนั้น $V_2=\alpha$ , $V_1=1-\alpha$ และ $0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}$

จากสมการด้านบนจะได้ว่า ผู้เข้าแข่งขันแต่ละคนจะแสดงความสามารถที่ $b(c) = A(c)(1-\alpha) + B(c)(\alpha) = A(c) + \alpha(B(c)-A(c))$

เมื่อต้องการให้ผู้เข้าแข่งขันแสดงความสามารถมากที่สุดจากผู้เข้าแข่งขัน k คน ผู้ออกแบบการแข่งขันต้อง $\underset{0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}}{\text{maximize}}\ k\int\limits_m^1(A(c) + \alpha(B(c)-A(c))F'(c)dc = \underset{0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}}{\text{maximize}}\ k\int\limits_m^1(B(c) - A(c))F'(c)dc$

ข้อสรุปที่ได้จากแบบจำลองข้างต้นก็คือ ถ้าค่าอินทีเกรตออกมาเป็นบวก ( $B(c)-A(c) \geq 0$ ) สัดส่วนเงินรางวัลที่จะถูกแบ่ง ( $optimal\ \alpha$ ) จะเท่ากับ $\frac{1}{2}$ หมายความว่า การกระจายของเงินรางวัลจะช่วยเพิ่มแรงจูงใจให้คนที่มีความสามารถกลางๆ มากกว่าแรงจูงใจที่ลดลงของคนที่มีความสามารถสูง เงินรางวัลควรจะถูกแบ่งออกเป็นสองรางวัลเท่าๆ กัน

ในทางตรงกันข้าม ถ้าค่าอินทีเกรตออกมาเป็นลบ ( $B(c)-A(c) \leq 0$ ) สัดส่วนเงินรางวัลที่จะถูกแบ่ง ( $optimal\ \alpha$ ) จะเท่ากับ 0 หมายความว่า การกระจายของเงินรางวัลจะช่วยลดแรงจูงใจให้คนที่มีความสามารถสูงมากกว่าเพิ่มแรงจูงใจให้คนที่มีความสามารถกลางๆ เงินรางวัลควรจะให้เพียงรางวัลเดียว คือที่หนึ่งได้ไปทั้งหมด

เมื่อนำเอาฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตามที่แบบจำลองว่ามามาจำลองด้วยกราฟ แสดงได้ตามรูป แกนตั้งคือแรงจูงใจ แกนนอนคือการกระจายตัวของความสามารถผู้เข้าแข่งขัน [m,1] ซึ่งเห็นได้ว่า หากเงินรางวัลถูกจัดสรรให้อันดับหนึ่งทั้งหมด แรงจูงใจของคนที่มีความสามารถสูง (เส้นหนา) จะสูง และจะค่อยๆ ลดลงหากมีการจัดสรรเงินรางวัลกระจายออกไป ขณะเดียวกัน การกระจายดังกล่าวจะส่งผลให้แรงจูงใจของคนที่มีความสามารถกลางๆ (เส้นบาง) จะสูงขึ้นแทนที่

……….

กรณีที่สอง ต้นทุนเป็นเส้นโค้ง (Concave and Convex Cost Functions)

กำหนดให้

– ต้นทุนการซ้อมเป็นเส้นโค้งกับความสามารถในการแข่งขัน ในกรณีนี้เป็นโค้งหงาย นั่นคือ $\gamma(0)=0, \gamma'>0$ ถ้า $g = \gamma^{-1} \rightarrow g'>0$

– มีจำนวนผู้แข่งขัน $k \geq 3$ คน และมีจำนวนรางวัล 2 รางวัล $V_1 \geq V_2 \geq 0$

ในกรณีนี้ เมื่อผู้ออกแบบการแข่งขันที่ต้องการให้ผู้เข้าแข่งขันแสดงความสามารถมากที่สุดจากผู้เข้าแข่งขัน k คน ผู้ออกแบบการแข่งขันต้อง

$\underset{0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}}{\text{maximize}}\ g[A(c) + \alpha (B(c) - A(c))F'(c)dc$

ความแตกต่างระหว่างกรณีที่ต้นทุนเป็นเส้นตรงและเป็นเส้นโค้งก็คือ ค่า g ซึ่งจะเข้าไปมีบทบาทต่อส่วนต่างระหว่างคนที่ความสามารถสูงกับกลางๆ เช่น หากต้นทุนเป็นโค้งหงาย (Convex) หมายความว่า หากต้องการเก่งขึ้นในช่วงหลังๆ จะต้องใช้ความพยายามที่สูงขึ้นมาก หรือหากใช้ความพยายามเท่ากัน คนที่มีความสามารถกลางๆ จะเก่งขึ้นเร็วกว่าคนที่มีความสามารถสูงๆ ซึ่งเท่ากับว่าส่วนต่างของความสามารถระหว่างคนที่มีความสามารถกลางๆ กับสูงๆ ลดต่ำลงกว่ากรณีเส้นตรง

การจัดสรรเงินรางวัลจึงต้องคำนึงว่า เอาเข้าจริงแล้วอัตราที่เพ่ิมขึ้นของต้นทุนมีมากเพียงใด เพราะควรจะจัดสรรเงินรางวัลให้สอดคล้องกับส่วนต่างดังกล่าว แนวทางการจัดสรรจึงแสดงได้ว่า

$R(\alpha^*) = k\int\limits_m^1g(A(c) + \alpha(B(c)-A(c))F'(c)dc$

ในทางตรงกันข้าม หากต้นทุนเป็นโค้งคว่ำ (Concave) หมายความว่า หากต้องการเก่งขึ้นในช่วงหลังๆ จะใช้ความพยายามที่สูงขึ้นน้อย หรือหากใช้ความพยายามเท่ากัน คนที่มีความสามารถกลางๆ จะเก่งขึ้นช้ากว่าคนที่มีความสามารถสูงๆ ซึ่งเท่ากับว่าส่วนต่างของความสามารถระหว่างคนที่มีความสามารถกลางๆ กับสูงๆ สูงกว่ากว่ากรณีเส้นตรง การจัดสรรเงินรางวัลที่แบ่งไปให้ลำดับที่สองย่อลดแรงจูงใจของคนที่มีความสามารถสูงๆ ลงอย่างมาก ดังนั้น ควรจัดสรรเงินรางวัลทั้งหมดให้ที่เหนึ่งเพียงรางวัลเดียว

……….

ข้อสรุปของเรื่องนี้ก็คือ การจัดสรรเงินรางวัลเพื่อให้เกิดแรงจูงใจในการแข่งขันมากที่สุดขึ้นอยู่กับต้นทุนของผู้เข้าแข่งขัน หากต้นทุนของผู้เข้าแข่งขันเป็นโค้งคว่ำ ให้จัดสรรเงินรางวัลทั้งหมดให้ลำดับที่หนึ่งเพียงรางวัลเดียว ถ้าต้นทุนของผู้เข้าแข่งขันเป็นเส้นตรง อาจทำการจัดสรรเงินรางวัลทั้งหมดให้ลำดับที่หนึ่งเพียงรางวัลเดียว หรือจัดสรรเท่ากันระหว่างที่หนึ่งและที่สอง และหากต้นทุนของผู้เข้าแข่งขันเป็นโค้งหงาย ให้จัดสรรเงินรางวัลให้สอดคล้องกับส่วนต่างระหว่างคนที่มีความสามารถสูงๆ กับกลางๆ

ที่มา: Moldovanu, Benny, and Aner Sela. 2001. “The Optimal Allocation of Prizes in Contests.” American Economic Review, 91(3): 542–558.

featured image from here

Permalink
Posted: Aug 10 2012